14. (1 балл) Найдите наибольшее значение функции f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 29 на отрезке [-1; 4].

Дано:

• Функция f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 29
• Отрезок [-1; 4]

Найти: Наибольшее значение функции на отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:
2. f'(x) = (-x³)' + (3x²)' + (9x)' - (29)'
3. f'(x) = -3x² + 6x + 9
4. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
5. -3x² + 6x + 9 = 0
6. Разделим на -3, чтобы упростить:
7. x² - 2x - 3 = 0
8. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
9. x₁ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1.
10. x₂ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3.
11. Критические точки: x = -1 и x = 3. Обе точки принадлежат отрезку [-1; 4].
12. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
13. f(-1) = -(-1)³ + 3(-1)² + 9(-1) - 29 = -(-1) + 3(1) - 9 - 29 = 1 + 3 - 9 - 29 = 4 - 38 = -34.
14. f(3) = -(3)³ + 3(3)² + 9(3) - 29 = -27 + 3(9) + 27 - 29 = -27 + 27 + 27 - 29 = -2.
15. f(4) = -(4)³ + 3(4)² + 9(4) - 29 = -64 + 3(16) + 36 - 29 = -64 + 48 + 36 - 29 = -64 + 84 - 29 = 20 - 29 = -9.
16. Сравниваем полученные значения: -34, -2, -9.
17. Наибольшее значение равно -2.

Ответ: -2