17. (2 балла) Решите систему уравнений { y - x = 7, 3^x * 3^(y-1) = 27.

Дано:

• Система уравнений:
• \[ \begin{cases} y - x = 7 \\ 3^x \cdot 3^{y-1} = 27 \end{cases} \]

Найти: x, y

Решение:

1. Преобразуем второе уравнение:
2. Используем свойство степеней aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ:
3. 3^(x + y - 1) = 27
4. Представим 27 как степень тройки: 27 = 3³.
5. 3^(x + y - 1) = 3³
6. Приравниваем показатели степени:
7. x + y - 1 = 3
8. x + y = 4
9. Теперь у нас есть новая система:
10. \[ \begin{cases} y - x = 7 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
11. Решим систему методом сложения:
12. Сложим два уравнения:
13. (y - x) + (x + y) = 7 + 4
14. 2y = 11
15. y = 11/2 = 5.5
16. Подставим значение y в любое из уравнений, чтобы найти x. Возьмем второе уравнение:
17. x + 5.5 = 4
18. x = 4 - 5.5
19. x = -1.5
20. Проверка:
21. Подставим x = -1.5 и y = 5.5 в исходные уравнения:
22. Первое: 5.5 - (-1.5) = 5.5 + 1.5 = 7 (Верно).
23. Второе: 3⁻¹.⁵ * 3^(5.5 - 1) = 3⁻¹.⁵ * 3⁴.⁵ = 3^(-1.5 + 4.5) = 3³ = 27 (Верно).

Ответ: x = -1.5, y = 5.5