19. (3 балла) Решить уравнение (2х² – 3х – 2)√3x+1 = 0

Дано:

• Уравнение: (2x² – 3x – 2)√(3x + 1) = 0

Найти: x

Решение:

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
2. Множитель 1: √(3x + 1) = 0
3. Возведем обе части в квадрат:
4. 3x + 1 = 0
5. 3x = -1
6. x = -1/3
7. Важное условие: Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
8. 3x + 1 ≥ 0 => 3x ≥ -1 => x ≥ -1/3.
9. Значение x = -1/3 удовлетворяет этому условию.
10. Множитель 2: 2x² – 3x – 2 = 0
11. Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
12. √D = 5.
13. x₁ = (3 - 5) / (2 * 2) = -2 / 4 = -1/2.
14. x₂ = (3 + 5) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2.
15. Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию x ≥ -1/3:
16. x₁ = -1/2. Так как -1/2 = -0.5, а -1/3 ≈ -0.33, то -1/2 < -1/3. Этот корень не подходит.
17. x₂ = 2. Это значение больше -1/3, значит, подходит.
18. Итак, у нас есть два корня: x = -1/3 и x = 2.

Ответ: x = -1/3, x = 2