14. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой: a) y = 5 / (|x| + 4); б) y = x² + sqrt(|x| - 1); в) y = 48 / (|x| - 2); г) y = sqrt(2 - |x| - 3x)

Решение:

Найдем область определения для каждой функции, учитывая ограничения:

• Знаменатель не должен быть равен нулю.
• Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным.

1. \( y = \frac{5}{|x|+4} \)
   Знаменатель \( |x|+4 \). Так как \( |x| \ge 0 \), то \( |x|+4 \ge 4 \). Знаменатель никогда не равен нулю. Функция определена для всех \( x \).
   \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
2. \( y = x^2 + \sqrt{|x|-1} \)
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( |x| - 1 \ge 0 \)
   \( |x| \ge 1 \)
   Это означает, что \( x \ge 1 \) или \( x \le -1 \).
   \( D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \)
3. \( y = \frac{48}{|x|-2} \)
   Знаменатель не должен быть равен нулю: \( |x| - 2 \neq 0 \)
   \( |x| \neq 2 \)
   Следовательно, \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
   \( D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \)
4. \( y = \sqrt{2 - |x| - 3x} \)
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2 - |x| - 3x \ge 0 \).
   Рассмотрим два случая для \( |x| \):
   Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \).
   \( 2 - x - 3x \ge 0 \)
   \( 2 - 4x \ge 0 \)
   \( 2 \ge 4x \)
   \( x \le \frac{2}{4} \)
   \( x \le 0,5 \).
   Учитывая, что \( x \ge 0 \), получаем \( 0 \le x \le 0,5 \).
   Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \).
   \( 2 - (-x) - 3x \ge 0 \)
   \( 2 + x - 3x \ge 0 \)
   \( 2 - 2x \ge 0 \)
   \( 2 \ge 2x \)
   \( x \le 1 \).
   Учитывая, что \( x < 0 \), получаем \( x < 0 \).
   Объединяя оба случая: \( x < 0 \) или \( 0 \le x \le 0,5 \).
   Таким образом, \( x \le 0,5 \).
   \( D(y) = (-\infty; 0,5] \)

Ответ: а) \( D(y) = (-\infty; +\infty) \); б) \( D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \); в) \( D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \); г) \( D(y) = (-\infty; 0,5] \).