9. Найдите область определения функции, заданной формулой: a) y = 4x - 8; б) y = x² - 5x + 1; в) y = 2x/(5-x); г) y = 3/((x-4)(x+1)); д) y = 1/(x²+1); e) y = sqrt(x-5)

Решение:

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента \( x \).

1. \( y = 4x - 8 \)
   Это линейная функция. Она определена для любого действительного числа \( x \).
   \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
2. \( y = x^2 - 5x + 1 \)
   Это квадратичная функция. Она определена для любого действительного числа \( x \).
   \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
3. \( y = \frac{2x}{5-x} \)
   Это дробно-рациональная функция. Знаменатель не должен быть равен нулю.
   \( 5 - x \neq 0 \)
   \( x \neq 5 \)
   \( D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) \)
4. \( y = \frac{3}{(x-4)(x+1)} \)
   Знаменатель не должен быть равен нулю.
   \( (x-4)(x+1) \neq 0 \)
   \( x \neq 4 \) и \( x \neq -1 \)
   \( D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty) \)
5. \( y = \frac{1}{x^2+1} \)
   Знаменатель \( x^2+1 \) всегда больше нуля для любого действительного \( x \), так как \( x^2 \ge 0 \), следовательно \( x^2+1 \ge 1 \).
   \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
6. \( y = \sqrt{x-5} \)
   Выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным.
   \( x - 5 \ge 0 \)
   \( x \ge 5 \)
   \( D(y) = [5; +\infty) \)

Ответ: а) \( D(y) = (-\infty; +\infty) \); б) \( D(y) = (-\infty; +\infty) \); в) \( D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) \); г) \( D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty) \); д) \( D(y) = (-\infty; +\infty) \); е) \( D(y) = [5; +\infty) \).