14. $$\frac{9x-63}{15x-45} \le 0$$

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя:
• $$9x-63 = 0 \Rightarrow 9x = 63 \Rightarrow x = 7$$
• $$15x-45 = 0 \Rightarrow 15x = 45 \Rightarrow x = 3$$
2. Отметим корни на числовой прямой: $$3$$ и $$7$$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x \neq 3$$.
3. Определим знаки на интервалах:
• При $$x < 3$$, например, $$x=0$$: $$\frac{9(0)-63}{15(0)-45} = \frac{-63}{-45} = \frac{7}{5} > 0$$.
• При $$3 < x < 7$$, например, $$x=4$$: $$\frac{9(4)-63}{15(4)-45} = \frac{36-63}{60-45} = \frac{-27}{15} < 0$$.
• При $$x > 7$$, например, $$x=8$$: $$\frac{9(8)-63}{15(8)-45} = \frac{72-63}{120-45} = \frac{9}{75} > 0$$.
4. Так как неравенство нестрогое ($$\\le 0$$), включаем корень числителя ($$x=7$$) и исключаем корень знаменателя ($$x=3$$). Выбираем интервал, где знак '-'.

Ответ: $$x \in (3; 7]$$.