19. $$\frac{x^3-64x}{(2x-3)^3} < 0$$

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

1. Разложим числитель на множители:
• $$x^3-64x = x(x^2-64) = x(x-8)(x+8)$$.
2. Неравенство примет вид: $$\frac{x(x-8)(x+8)}{(2x-3)^3} < 0$$.
3. Найдем корни числителя и знаменателя:
• $$x(x-8)(x+8) = 0 \Rightarrow x=0$$, $$x=8$$, $$x=-8$$.
• $$(2x-3)^3 = 0 \Rightarrow 2x-3=0 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x=1.5$$.
4. Отметим корни на числовой прямой: $$-8$$, $$0$$, $$1.5$$, $$8$$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x \neq 1.5$$.
5. Определим знаки на интервалах:
• При $$x < -8$$, например, $$x=-10$$: $$\frac{(-10)(-10-8)(-10+8)}{(2(-10)-3)^3} = \frac{(-10)(-18)(-2)}{(-23)^3} = \frac{-360}{-12167} > 0$$.
• При $$-8 < x < 0$$, например, $$x=-1$$: $$\frac{(-1)(-1-8)(-1+8)}{(2(-1)-3)^3} = \frac{(-1)(-9)(7)}{(-5)^3} = \frac{63}{-125} < 0$$.
• При $$0 < x < 1.5$$, например, $$x=1$$: $$\frac{(1)(1-8)(1+8)}{(2(1)-3)^3} = \frac{(1)(-7)(9)}{(-1)^3} = \frac{-63}{-1} > 0$$.
• При $$1.5 < x < 8$$, например, $$x=2$$: $$\frac{(2)(2-8)(2+8)}{(2(2)-3)^3} = \frac{(2)(-6)(10)}{(1)^3} = \frac{-120}{1} < 0$$.
• При $$x > 8$$, например, $$x=10$$: $$\frac{(10)(10-8)(10+8)}{(2(10)-3)^3} = \frac{(10)(2)(18)}{(17)^3} = \frac{360}{4913} > 0$$.
6. Так как неравенство строгое ($$<0$$), выбираем интервалы, где знак '-'.

Ответ: $$x \in (-8; 0) \cup (1.5; 8)$$.