17. $$\frac{x^2-169}{x^2+14x} > 0$$

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
• $$x^2-169 = (x-13)(x+13)$$
• $$x^2+14x = x(x+14)$$
2. Неравенство примет вид: $$\frac{(x-13)(x+13)}{x(x+14)} > 0$$.
3. Найдем корни числителя и знаменателя:
• $$(x-13)(x+13) = 0 \Rightarrow x=13$$ или $$x=-13$$.
• $$x(x+14) = 0 \Rightarrow x=0$$ или $$x=-14$$.
4. Отметим корни на числовой прямой: $$-14$$, $$-13$$, $$0$$, $$13$$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x \neq 0$$ и $$x \neq -14$$.
5. Определим знаки на интервалах:
• При $$x < -14$$, например, $$x=-15$$: $$\frac{(-15-13)(-15+13)}{(-15)(-15+14)} = \frac{(-28)(-2)}{(-15)(-1)} = \frac{56}{15} > 0$$.
• При $$-14 < x < -13$$, например, $$x=-13.5$$: $$\frac{(-13.5-13)(-13.5+13)}{(-13.5)(-13.5+14)} = \frac{(-26.5)(-0.5)}{(-13.5)(0.5)} = \frac{13.25}{-6.75} < 0$$.
• При $$-13 < x < 0$$, например, $$x=-1$$: $$\frac{(-1-13)(-1+13)}{(-1)(-1+14)} = \frac{(-14)(12)}{(-1)(13)} = \frac{-168}{-13} > 0$$.
• При $$0 < x < 13$$, например, $$x=1$$: $$\frac{(1-13)(1+13)}{(1)(1+14)} = \frac{(-12)(14)}{(1)(15)} = \frac{-168}{15} < 0$$.
• При $$x > 13$$, например, $$x=14$$: $$\frac{(14-13)(14+13)}{(14)(14+14)} = \frac{(1)(27)}{(14)(28)} > 0$$.
6. Так как неравенство строгое ($$>0$$), выбираем интервалы, где знак '+'.

Ответ: $$x \in (-\infty; -14) \cup (-13; 0) \cup (13; \infty)$$.