14. На рисунке AD = BD, K лежит на AD, ∠AKB = 105°, BK — биссектриса угла ABD. Точки D, B, C лежат на одной прямой. Найти углы треугольника ABD и угол ABC.

Так как A, K, D лежат на одной прямой, \(\angle DKB=180°-105°=75°\). Обозначим \(\angle ABK=\angle KBD=y\). Тогда \(\angle ABD=2y\).

Из AD = BD следует, что \(\angle DAB=\angle ABD=2y\), поэтому \(\angle ADB=180°-4y\). В треугольнике KBD: \(75°+y+(180°-4y)=180°\), откуда \(y=25°\).

Следовательно, \(\angle ABD=50°\), \(\angle DAB=50°\), \(\angle ADB=80°\). Так как BD и BC — противоположные лучи, \(\angle ABC=180°-50°=130°\).

Ответ: в треугольнике ABD углы 50°, 50° и 80°; ∠ABC = 130°.