14. Найдите cos угла между векторами а и ь, если а (1;0;-1) и Б (1;1;4)

Решение:

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле:

\[ \cos{\angle(\vec{a}, \vec{b})} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 = 1 + 0 - 4 = -3 \]

Теперь найдем длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

\[ \cos{\angle(\vec{a}, \vec{b})} = \frac{-3}{\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-3}{3 \cdot 2} = \frac{-3}{6} = -0.5 \]

Ответ: -0.5.