14. При свободном падении тела расстояние (м) между телом и поверхностью Земли можно найти по формуле h = −4,9t² + h₀ (сопротивлением воздуха можно пренебречь). Здесь h₀ — высота, с которой тело начало падать. Когда тело достигает поверхности Земли, h = 0. На рисунке изображена траектория движения тела, брошенного горизонтально с высоты 60 м. Решите уравнение −4,9t² + 60 = 0 и найдите, через сколько секунд тело упадёт на Землю. Верно ли предположение, что данная задача имеет одно положительное и одно отрицательное решение? Найдите приблизительно, через сколько секунд тело, находящееся на высоте: а) 120 м; б) 250 м, упадёт на Землю?

При ударе о землю \(h=0\). Для высоты 60 м:

\(-4.9t^2+60=0\), поэтому \(t^2=\frac{60}{4.9}=\frac{600}{49}\).

Отсюда \(t=\pm\frac{10\sqrt{6}}{7}\approx\pm3.50\) с. Уравнение действительно имеет одно положительное и одно отрицательное решение. Однако физический смысл имеет только положительное время: тело упадёт примерно через 3,50 с.

В общем случае из \(-4.9t^2+h_0=0\) следует \(t=\sqrt{\frac{h_0}{4.9}}\) для физически значимого положительного времени.

а) При \(h_0=120\) м: \(t=\sqrt{\frac{120}{4.9}}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx4.95\) с.

б) При \(h_0=250\) м: \(t=\sqrt{\frac{250}{4.9}}=\frac{50}{7}\approx7.14\) с.

Ответ: с высоты 60 м — примерно 3,50 с; уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень, но отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. С высоты 120 м — примерно 4,95 с, с высоты 250 м — примерно 7,14 с.