№ 14. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

В условии не указано, какие стороны трапеции параллельны; от этого зависит решение. Если принять стандартное для обозначения ABCD расположение оснований AB ∥ CD, условие противоречиво: AC ⟂ CD означает AC ⟂ AB, поэтому AC не может быть биссектрисой невырожденного угла A.

Если же основания — AD ∥ BC, данные согласуются. Тогда треугольник ACD прямоугольный при C, с углом D = 60°, поэтому ∠CAD = 30°. Так как AC — биссектриса угла A, ∠CAB = 30°. Из AD ∥ BC следует ∠ACB = ∠CAD = 30°, значит в треугольнике ABC углы A и C равны, и AB = BC. Кроме того, треугольник ACD имеет соотношение AD = 2CD и AC = √3·CD; из равенства углов A и C в треугольнике ABC следует BC = AC. Следовательно, AB = BC = √3·CD.

Обозначим CD = x. Тогда AD = 2x и периметр равен 2x + x + 2√3·x = 35. Отсюда x = 35/(3 + 2√3), поэтому AB = 35√3/(3 + 2√3) = 35(2 − √3)/√3 см.

Ответ: при основаниях AD ∥ BC длина AB равна 35(2 − √3)/√3 см. Уточните, какие стороны в условии подразумеваются параллельными.