№ 7. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Считаем, что основания трапеции — AD и BC, поскольку AB названа боковой стороной. В прямоугольном треугольнике ABD угол B равен 90°, а угол D равен 30°. Поэтому AD = 2AB, а BD = √3·AB.

Так как AD параллельна BC, ∠DBC = ∠ADB = 30°. В треугольнике BDC углы при B и D равны 30°, следовательно, BC = CD, а BD = √3·BC. Сопоставляя с BD = √3·AB, получаем BC = CD = AB.

Пусть AB = x. Тогда BC = CD = x, AD = 2x, и периметр равен 5x = 60. Отсюда x = 12, поэтому AD = 24 см.

Ответ: 24 см.