15. (1 балл). Найдите корень уравнения: 9ˣ - 8 ⋅ 3ˣ - 9 = 0

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойство степеней \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \):

\[ (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 8y - 9 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

\[ y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \]

\[ y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 3^x \):

1. \( 3^x = 9 \)

\[ 3^x = 3^2 \]

\[ x = 2 \]

1. \( 3^x = -1 \)

Это уравнение не имеет решений, так как степень числа 3 всегда положительна.

Ответ: x = 2.