21. (3 балла). Решите систему уравнений: 3ˣ · 2ʸ = 1/9; y - x = 2

Решение:

Из второго уравнения выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = x + 2 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 3^x \cdot 2^{x+2} = \frac{1}{9} \]

Представим \( 2^{x+2} \) как \( 2^x \cdot 2^2 \) и \( \frac{1}{9} \) как \( 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2} \):

\[ 3^x \cdot 2^x \cdot 4 = 3^{-2} \]

Перенесём 4 в правую часть:

\[ 3^x \cdot 2^x = \frac{3^{-2}}{4} \]

Сгруппируем степени с одинаковым показателем:

\[ (3 \cdot 2)^x = \frac{1}{4 \cdot 9} \]

\[ 6^x = \frac{1}{36} \]

\[ 6^x = 6^{-2} \]

Отсюда следует, что \( x = -2 \).

Теперь найдём \( y \) из уравнения \( y = x + 2 \):

\[ y = -2 + 2 = 0 \]

Проверим решение:

\[ 3^{-2} \cdot 2^0 = \frac{1}{9} \cdot 1 = \frac{1}{9} \] (Верно)

\[ 0 - (-2) = 2 \] (Верно)

Ответ: \( x = -2, y = 0 \).