22. (3 балла). Найдите решение уравнения: 3cos²x - sinx - 1 = 0

Решение:

Заменим \( \cos^2x \) через \( 1 - \sin^2x \) из основного тригонометрического тождества:

\[ 3(1 - \sin^2x) - \sin x - 1 = 0 \]

\[ 3 - 3\sin^2x - \sin x - 1 = 0 \]

\[ -3\sin^2x - \sin x + 2 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 3\sin^2x + \sin x - 2 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 3t^2 + t - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \]

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

Вернёмся к замене \( t = \sin x \):

1. \( \sin x = \frac{2}{3} \)

\[ x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

или

\[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

1. \( \sin x = -1 \)

\[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k \) или \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k \) или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \).