19. (3 балла). Найдите промежутки возрастания функции f(x) = x³ - x² - 16

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти её производную и определить, где она положительна.

Найдём производную функции \( f(x) = x^3 - x^2 - 16 \):

\[ f'(x) = 3x^2 - 2x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 2x = 0 \]

\[ x(3x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем два значения \( x \):

• \( x = 0 \)
• \( 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \)

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных этими точками:

• Интервал \( (-\infty, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (0, \frac{2}{3}) \): Возьмём \( x = 0.5 \). \( f'(0.5) = 3(0.5)^2 - 2(0.5) = 3(0.25) - 1 = 0.75 - 1 = -0.25 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (\frac{2}{3}, +\infty) \): Возьмём \( x = 1 \). \( f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 > 0 \). Функция возрастает.

Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (\frac{2}{3}, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{2}{3}, +\infty) \).