19. (3 балла). Найдите промежутки возрастания функции f(x) = x³ - x² - 16

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти первую производную и определить, где она положительна.

Функция: \( f(x) = x^3 - x^2 - 16 \).

Первая производная:

\[ f'(x) = 3x^2 - 2x \]

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 2x = 0 \]\[ x(3x - 2) = 0 \]

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{2}{3} \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < \frac{2}{3} \) (например, \( x = 0.1 \)): \( f'(0.1) = 3(0.1)^2 - 2(0.1) = 3(0.01) - 0.2 = 0.03 - 0.2 = -0.17 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > \frac{2}{3} \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 > 0 \) (функция возрастает).

Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (\frac{2}{3}; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty) \).