15. Найдите точку минимума функции \( y = x^3 - 192x + 5 \).

Решение:

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти её первую производную, приравнять её к нулю и найти корни уравнения. Затем проверить знак второй производной или изменение знака первой производной.

1. Найдём первую производную функции: \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 192x + 5) = 3x^2 - 192 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 192 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 3x^2 = 192 \) \( x^2 = \frac{192}{3} \) \( x^2 = 64 \) \( x = \pm 8 \).
4. Найдем вторую производную: \( y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 192) = 6x \).
5. Проверим знак второй производной в найденных точках:
• При \( x = 8 \): \( y'' = 6 \cdot 8 = 48 \). Так как \( y'' > 0 \), то в точке \( x = 8 \) функция имеет минимум.
• При \( x = -8 \): \( y'' = 6 \cdot (-8) = -48 \). Так как \( y'' < 0 \), то в точке \( x = -8 \) функция имеет максимум.

Ответ: x = 8.