16. Решить уравнение: \( 2\sin^2 x - \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \).

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

1. Проверим, является ли \( \cos x = 0 \) решением уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2 x = 1 \). Подставим в уравнение: \( 2(1) - \sin x \cdot 0 - 3(0)^2 = 0 \) \( 2 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x
   e 0 \).
2. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\( \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)

\( 2\tan^2 x - \tan x - 3 = 0 \)

Сделаем замену: \( t = \tan x \).

\( 2t^2 - t - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \).

\( t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

\( t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( t = \tan x \):

1. \( \tan x = \frac{3}{2} \) \( x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k \), где \( k \) — целое число.
2. \( \tan x = -1 \) \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.