17. Решить задачу: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 2. Боковые ребра равны \( \frac{\pi}{2} \). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

Объем цилиндра находится по формуле \( V_{цилиндра} = \pi R^2 H \), где \( R \) — радиус основания цилиндра, \( H \) — высота цилиндра.

1. Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть длине бокового ребра: \( H = \frac{\pi}{2} \).
2. Основанием цилиндра является окружность, описанная около основания призмы — прямоугольного треугольника. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
3. Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора: \( c^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \). \( c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).
4. Радиус описанной окружности: \( R = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \).
5. Найдем объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi R^2 H = \pi (\sqrt{5})^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \cdot 5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi^2}{2} \).

Ответ: \( \frac{5\pi^2}{2} \).