15. Площадь прямоугольного треугольника равна 8√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Краткая запись:

• S = 8√3
• Угол = 30°
• Найти: катет напротив угла 30° — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Пусть угол, противоположный катету a, равен 30°.
2. Шаг 2: Площадь прямоугольного треугольника равна: \( S = \frac{1}{2}ab \). Подставим известные значения:
   \( 8\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab \)
   \( ab = 16\sqrt{3} \)
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: \( a = \frac{1}{2}c \). Также, по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
4. Шаг 4: Также, из тригонометрии, \( an(30^ ext{o}) = \frac{a}{b} \). Знаем, что \( an(30^ ext{o}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
   Следовательно, \( \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), откуда \( b = a\sqrt{3} \).
5. Шаг 5: Подставим \( b = a\sqrt{3} \) в уравнение \( ab = 16\sqrt{3} \):
   \( a(a\sqrt{3}) = 16\sqrt{3} \)
   \( a^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \)
   \( a^2 = 16 \)
   \( a = 4 \) (так как длина не может быть отрицательной).
6. Шаг 6: Найдем катет b:
   \( b = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)

Ответ: 4