15. Решить уравнение log₂(x² + 4x + 3) = 3 .

Решение:

Это логарифмическое уравнение. Для его решения воспользуемся определением логарифма: если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

1. Применим определение логарифма к данному уравнению:
   \( x^2 + 4x + 3 = 2^3 \)
2. Возведем 2 в степень 3:
   \( x^2 + 4x + 3 = 8 \)
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( x^2 + 4x + 3 - 8 = 0 \)
   \( x^2 + 4x - 5 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -4 \) и \( x_1 · x_2 = -5 \).
   Подбираем корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).
   Проверка: \( 1 + (-5) = -4 \) (верно), \( 1 · (-5) = -5 \) (верно).
5. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
   \( x^2 + 4x + 3 > 0 \)
   Найдем корни уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \): \( x = -1 \) и \( x = -3 \).
   Парабола \( y = x^2 + 4x + 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 4x + 3 > 0 \) при \( x < -3 \) или \( x > -1 \).
6. Проверим найденные корни \( x = 1 \) и \( x = -5 \) на соответствие ОДЗ:
   Для \( x = 1 \): \( 1 > -1 \) (верно).
   Для \( x = -5 \): \( -5 < -3 \) (верно).

Ответ: x = 1, x = -5.