15. Решите уравнение \(x(x^2+2x+1) = 6(x+1)\).

Решение:

1. Заметим, что \( x^2+2x+1 \) является полным квадратом: \( (x+1)^2 \).
2. Подставим это в уравнение: \( x(x+1)^2 = 6(x+1) \).
3. Перенесём все члены в одну часть: \( x(x+1)^2 - 6(x+1) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+1) \) за скобки: \( (x+1)[x(x+1) - 6] = 0 \).
5. Упростим выражение в квадратных скобках: \( (x+1)[x^2+x-6] = 0 \).
6. Теперь нужно найти корни квадратного трёхчлена \( x^2+x-6=0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).
7. Корни квадратного трёхчлена: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \).
• \( x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
• \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
8. Таким образом, у нас есть три множителя: \( (x+1) \), \( (x+3) \) (так как \( x = -3 \) является корнем \( x^2+x-6 \)), и \( (x-2) \) (так как \( x=2 \) является корнем \( x^2+x-6 \)).
9. Уравнение раскладывается на множители: \( (x+1)(x+3)(x-2) = 0 \).
10. Корни уравнения: \( x = -1 \), \( x = -3 \), \( x = 2 \).

Ответ: -3, -1, 2