15. Упростите выражение \(\frac{2}{a-2} + \frac{a+2}{a^2-10a+25} - \frac{6a-30}{a^2-4}\)

Краткое пояснение:

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( a-2 \)
• \( a^2-10a+25 = (a-5)^2 \)
• \( a^2-4 = (a-2)(a+2) \)
2. Общий знаменатель будет \( (a-2)(a+2)(a-5)^2 \).
3. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
• \( \frac{2}{a-2} = \frac{2(a+2)(a-5)^2}{(a-2)(a+2)(a-5)^2} \)
• \( \frac{a+2}{(a-5)^2} = \frac{(a+2)(a-2)(a+2)}{(a-2)(a+2)(a-5)^2} = \frac{(a+2)^2(a-2)}{(a-2)(a+2)(a-5)^2} \)
• \( \frac{6a-30}{a^2-4} = \frac{6(a-5)}{(a-2)(a+2)} = \frac{6(a-5)(a-5)^2}{(a-2)(a+2)(a-5)^2} = \frac{6(a-5)^3}{(a-2)(a+2)(a-5)^2} \)
4. Сложим и вычтем числители:
• \( 2(a+2)(a^2-10a+25) + (a+2)^2(a-2) - 6(a-5)^3 \)
• \( = 2(a^3 - 10a^2 + 25a + 2a^2 - 20a + 50) + (a^2+4a+4)(a-2) - 6(a^3 - 15a^2 + 75a - 125) \)
• \( = 2(a^3 - 8a^2 + 5a + 50) + (a^3 - 2a^2 + 4a^2 - 8a + 4a - 8) - 6a^3 + 90a^2 - 450a + 750 \)
• \( = 2a^3 - 16a^2 + 10a + 100 + a^3 + 2a^2 - 4a - 8 - 6a^3 + 90a^2 - 450a + 750 \)
• \( = (2+1-6)a^3 + (-16+2+90)a^2 + (10-4-450)a + (100-8+750) \)
• \( = -3a^3 + 76a^2 - 444a + 842 \)
5. Итоговое выражение: \( \frac{-3a^3 + 76a^2 - 444a + 842}{(a-2)(a+2)(a-5)^2} \)

Ответ: \(\frac{-3a^3 + 76a^2 - 444a + 842}{(a-2)(a+2)(a-5)^2}\)