17. От пристани по течению реки отплыл плот. Через 1 ч 20 мин от этой пристани отчалила моторная лодка, догнавшая плот на расстоянии 5 км от пристани. Найдите скорость движения плота, если моторная лодка двигалась на 12 км/ч быстрее него.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Переведем время в часы: 1 ч 20 мин = \( 1 \frac{20}{60} = 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \) часа.
2. Пусть \( v_п \) — скорость плота (км/ч).
3. Пусть \( v_л \) — скорость лодки (км/ч).
4. По условию, лодка двигалась на 12 км/ч быстрее плота: \( v_л = v_п + 12 \).
5. Расстояние, которое проплыли плот и лодка, равно 5 км.
6. Время движения плота: \( t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{5}{v_п} \) часа.
7. Время движения лодки: \( t_л = \frac{S}{v_л} = \frac{5}{v_п + 12} \) часа.
8. По условию, лодка отчалила на \( \frac{4}{3} \) часа позже плота, и догнала его, значит, время движения плота было на \( \frac{4}{3} \) часа больше времени движения лодки: \( t_п = t_л + \frac{4}{3} \).
9. Подставим выражения для времени:
• \( \frac{5}{v_п} = \frac{5}{v_п + 12} + \frac{4}{3} \)
10. Решим уравнение относительно \( v_п \):
• Приведем к общему знаменателю \( 3v_п(v_п + 12) \):
• \( 5 · 3(v_п + 12) = 5 · 3v_п + 4 · v_п(v_п + 12) \)
• \( 15(v_п + 12) = 15v_п + 4v_п^2 + 48v_п \)
• \( 15v_п + 180 = 15v_п + 4v_п^2 + 48v_п \)
• \( 180 = 4v_п^2 + 48v_п \)
• Разделим на 4:
• \( 45 = v_п^2 + 12v_п \)
• \( v_п^2 + 12v_п - 45 = 0 \)
11. Решим квадратное уравнение для \( v_п \):
• \( D = 12^2 - 4(1)(-45) = 144 + 180 = 324 \)
• \( \sqrt{D} = 18 \)
• \( v_{п1} = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( v_{п2} = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)
12. Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_п = 3 \) км/ч.

Ответ: 3 км/ч