18. Найдите значение выражения \(\frac{1}{\sqrt{30}+3} - \frac{1}{\sqrt{30}+1}\)

Краткое пояснение:

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю: \( (\sqrt{30}+3)(\sqrt{30}+1) \).
2. \( \frac{1}{\sqrt{30}+3} = \frac{\sqrt{30}-3}{(\sqrt{30}+3)(\sqrt{30}-3)} = \frac{\sqrt{30}-3}{30-9} = \frac{\sqrt{30}-3}{21} \).
3. \( \frac{1}{\sqrt{30}+1} = \frac{\sqrt{30}-1}{(\sqrt{30}+1)(\sqrt{30}-1)} = \frac{\sqrt{30}-1}{30-1} = \frac{\sqrt{30}-1}{29} \).
4. Теперь вычтем вторую дробь из первой:
• \( \frac{\sqrt{30}-3}{21} - \frac{\sqrt{30}-1}{29} \)
• Найдем общий знаменатель: \( 21 · 29 = 609 \).
• \( \frac{29(\sqrt{30}-3) - 21(\sqrt{30}-1)}{609} \)
• \( \frac{29\sqrt{30} - 87 - 21\sqrt{30} + 21}{609} \)
• \( \frac{(29-21)\sqrt{30} + (-87+21)}{609} \)
• \( \frac{8\sqrt{30} - 66}{609} \)
5. Можно попробовать привести к общему знаменателю \( (\sqrt{30}+3)(\sqrt{30}+1) \) напрямую:
• \( \frac{(\sqrt{30}+1) - (\sqrt{30}+3)}{(\sqrt{30}+3)(\sqrt{30}+1)} = \frac{\sqrt{30}+1 - \sqrt{30}-3}{(\sqrt{30}+3)(\sqrt{30}+1)} = \frac{-2}{(\sqrt{30}+3)(\sqrt{30}+1)} \)
• Раскроем знаменатель: \( (\sqrt{30})^2 + \sqrt{30} + 3\sqrt{30} + 3 = 30 + 4\sqrt{30} + 3 = 33 + 4\sqrt{30} \).
• Итоговое выражение: \( \frac{-2}{33 + 4\sqrt{30}} \).
6. Рационализируем знаменатель:
• \( \frac{-2(33 - 4\sqrt{30})}{(33 + 4\sqrt{30})(33 - 4\sqrt{30})} = \frac{-66 + 8\sqrt{30}}{33^2 - (4\sqrt{30})^2} = \frac{-66 + 8\sqrt{30}}{1089 - 16 · 30} = \frac{-66 + 8\sqrt{30}}{1089 - 480} = \frac{-66 + 8\sqrt{30}}{609} \).
7. Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: \(\frac{8\sqrt{30} - 66}{609}\)