16. Решите уравнение \(\frac{3}{x^2-4x+4} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x+2}\)

Краткое пояснение:

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( x^2-4x+4 = (x-2)^2 \)
• \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \)
• \( x+2 \)
2. Общий знаменатель: \( (x-2)^2(x+2) \).
3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, предварительно записав уравнение:
• \( \frac{3}{(x-2)^2} - \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2} \)
4. Умножаем:
• \( 3(x+2) - 4(x-2) = 1(x-2)^2 \)
• \( 3x + 6 - 4x + 8 = x^2 - 4x + 4 \)
• \( -x + 14 = x^2 - 4x + 4 \)
• Перенесем все в одну сторону:
• \( x^2 - 4x + x + 4 - 14 = 0 \)
• \( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \)
• \( \sqrt{D} = 7 \)
6. Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2(1)} = \frac{10}{2} = 5 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2 \)
7. Проверим на посторонние корни. Знаменатели обращаются в ноль при \( x=2 \) и \( x=-2 \).
8. Корень \( x_2 = -2 \) является посторонним, так как он обращает знаменатели в ноль.
9. Корень \( x_1 = 5 \) является допустимым.

Ответ: 5