15. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C=19° и AK=CK.

В треугольнике \(AKC\) равны стороны \(AK=CK\), поэтому равны углы при основании: \(\angle KAC=\angle ACK=19^\circ\).

Тогда \(\angle AKC=180^\circ-19^\circ-19^\circ=142^\circ\).

Точки \(B,K,C\) лежат на одной прямой, поэтому \(\angle AKB=180^\circ-142^\circ=38^\circ\).

Так как \(AK\) — биссектриса, \(\angle BAK=\frac{\angle A}{2}\). Пусть \(\angle BAK=x\). Тогда \(\angle A=2x\), а \(\angle B=180^\circ-2x-19^\circ=161^\circ-2x\).

В треугольнике \(ABK\): \(x+38^\circ+\angle B=180^\circ\), откуда \(x+\angle B=142^\circ\). Следовательно, \(x+161^\circ-2x=142^\circ\), поэтому \(x=19^\circ\) и \(\angle B=123^\circ\).

Ответ: 123°