159. а) 2 cos(2x + π/3) ≤ 1; б) √3 tg(3x + π/6) < 1; в) √2 sin(π/4 + x/2) ≥ 1; г) 2 cos(4x − π/6) > √3.

Пусть k ∈ ℤ. В каждом пункте вводим переменную, равную аргументу тригонометрической функции.

1. а) Обозначим t = 2x + π/3. Условие cos t ≤ 1/2 даёт t ∈ [π/3 + 2πk; 5π/3 + 2πk]. Следовательно, x ∈ [πk; 2π/3 + πk].
2. б) Обозначим t = 3x + π/6. Получаем tg t < 1/√3, то есть t ∈ (−π/2 + πk; π/6 + πk). Поэтому x ∈ (−2π/9 + πk/3; πk/3).
3. в) Обозначим t = π/4 + x/2. Получаем sin t ≥ √2/2, значит t ∈ [π/4 + 2πk; 3π/4 + 2πk]. Поэтому x ∈ [4πk; π + 4πk].
4. г) Обозначим t = 4x − π/6. Условие cos t > √3/2 даёт t ∈ (−π/6 + 2πk; π/6 + 2πk). Поэтому x ∈ (πk/2; π/12 + πk/2).