160. а) sin x cos(π/6) − cos x sin(π/6) ≤ 1/2; б) sin(π/4) cos x + cos(π/4) sin x < −√2/2; в) 4 sin 2x cos 2x ≥ √2; г) cos(π/8) cos x − sin x sin(π/8) < −√3/2.

Пусть k ∈ ℤ. В пунктах а), б), г) применяем формулы синуса и косинуса суммы или разности; в пункте в) — формулу двойного угла.

1. а) Левая часть равна sin(x − π/6). Тогда sin(x − π/6) ≤ 1/2, откуда x ∈ [−π/6 + 2πk; π/2 + 2πk] ∪ [5π/6 + 2πk; 13π/6 + 2πk].
2. б) Левая часть равна sin(x + π/4). Тогда sin(x + π/4) < −√2/2, поэтому x ∈ (π + 2πk; 3π/2 + 2πk).
3. в) 4 sin 2x cos 2x = 2 sin 4x. Значит sin 4x ≥ √2/2, откуда x ∈ [π/16 + πk/2; 3π/16 + πk/2].
4. г) Левая часть равна cos(x + π/8). Решаем cos(x + π/8) < −√3/2: x ∈ (17π/24 + 2πk; 31π/24 + 2πk).