16. Найдите P_ABCD. На рисунке BC = 5, AD = 15, ∠MAD = 30°, ∠DAB = 60°, MC ⟂ CD. Точка N лежит на AB, MN проходит через N и C, а засечки показывают, что AN = NB.

Обозначим AM = x. В треугольнике MAN углы при M и N равны 30°: угол при M равен 30° по рисунку, а угол при A равен 120° (между лучами AM и AN). Поэтому противоположные им стороны равны: AM = AN. Так как AN = NB, получаем AB = 2AN = 2x.

Горизонтальная проекция AB равна AB · cos 60° = x, а высота трапеции равна AB · sin 60° = √3x. Горизонтальное расстояние от M до проекции C равно AM + x + BC = 2x + 5.

Поскольку ∠CMD = 30°, отношение высоты к горизонтальному расстоянию равно tan 30° = 1/√3. Следовательно, √3x / (2x + 5) = 1/√3, откуда 3x = 2x + 5 и x = 5. Значит, AB = 10.

Горизонтальная проекция CD равна AD − BC − AB · cos 60° = 15 − 5 − 5 = 5, а высота равна 5√3. Поэтому CD = √(5² + (5√3)²) = 10.

P_ABCD = 10 + 5 + 10 + 15 = 40.

Ответ: 40.