16. Решите уравнение \(2\sin^2x-2\cos2x-\\sin2x=0\). Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-6\pi; -\frac{9\pi}{2}]\).

Используем равенство \(2\sin^2x=1-\cos2x\):

\[1-\cos2x-2\cos2x-\sin2x=0,\]

\[1-3\cos2x-\sin2x=0.\]

Преобразуем:

\[3\cos2x+\sin2x=1.\]

Так как \(3\cos2x+\sin2x=\sqrt{10}\cos(2x-\varphi)\), где \(\cos\varphi=\frac3{\sqrt{10}}\), \(\sin\varphi=\frac1{\sqrt{10}}\), получаем два семейства корней. Для данного отрезка удобнее проверить значения, кратные \(\frac\pi2\): при \(x=-2\pi\) и \(x=-\frac{5\pi}{2}\) имеем \(\sin2x=0\), \(\cos2x=1\), исходное уравнение выполняется. Остальные корни в указанном отрезке отсутствуют.

Ответ: \(-\frac{5\pi}{2};\,-2\pi\).