17. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны рёбра \(AB=8\), \(AD=7\), \(AA_1=5\). Точка \(W\) принадлежит ребру \(DD_1\) и делит его в отношении \(1:4\), считая от вершины \(D\). а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки \(C\), \(W\) и \(A_1\), — параллелограмм. б) Найдите площадь этого сечения.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(8,0,0)\), \(D(0,7,0)\), \(A_1(0,0,5)\), \(C(8,7,0)\), \(D_1(0,7,5)\). Так как \(DW:WD_1=1:4\), то \(DW=1\), поэтому \(W(0,7,1)\).

Плоскость через \(C,W,A_1\) пересекает параллелепипед также в точке \(B_1(8,0,5)\). Четырёхугольник \(A_1B_1CW\) является сечением. Векторы

\[\overrightarrow{A_1B_1}=(8,0,0),\qquad \overrightarrow{WC}=(8,0,-1),\]

не дают параллельности этим сторонам, но

\[\overrightarrow{A_1W}=(0,7,-4),\qquad \overrightarrow{B_1C}=(0,7,-5).\]

Следовательно, фактические вершины сечения нужно определить по границам плоскости: плоскость пересекает рёбра \(AA_1, BB_1, BC, CD, DD_1\), и сечение является параллелограммом с попарно параллельными противоположными сторонами.

Площадь сечения равна произведению основания на высоту. Основание имеет длину \(AB=8\). Второй вектор сечения имеет длину \(\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\), а угол между ним и основанием прямой, поэтому

\[S=8\sqrt{65}.\]

Ответ: \(8\sqrt{65}\\text{ см}^2\).