20. В треугольнике $ABC$, $AB=10$, $BC=5$, $CA=6$. Точка $D$ лежит на прямой $BC$, причём $BD:DC=5:7$. Окружности, вписанные в каждый из треугольников $ADC$ и $ADB$, касаются стороны $AD$ в точках $E$ и $F$. Найдите длину отрезка $EF$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 20. В треугольнике $ABC$, $AB=10$, $BC=5$, $CA=6$. Точка $D$ лежит на прямой $BC$, причём $BD:DC=5:7$.…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $BD:DC=5:7$ и $BC=5$, то при расположении точки $D$ на отрезке $BC$ получаем $BD=\frac{25}{12}$, $DC=\frac{35}{12}$. Обозначим $AD=d$.

Для вписанной окружности треугольника длина от вершины до точки касания на стороне равна разности полупериметра и противоположной стороны. Поэтому

\[AE=\frac{AD+AC-DC}{2},\qquad AF=\frac{AD+AB-BD}{2}.\]

Следовательно,

\[EF=AF-AE=\frac{AB-BD-AC+DC}{2}.\]

Подставим данные:

\[EF=\frac{10-\frac{25}{12}-6+\frac{35}{12}}2=\frac{4+\frac{10}{12}}2=\frac{29}{12}.\]

Ответ: $\frac{29}{12}$.