16 Вычислите: 11/12 : 14/15 * 25/42

Привет! Давай решим этот пример по шагам.

1. Переводим деление в умножение: Когда мы делим на дробь, мы умножаем на обратную ей дробь. Поэтому 11/12 : 14/15 превращается в 11/12 * 15/14.
2. Объединяем множители: Теперь у нас есть: 11/12 * 15/14 * 25/42. Можно записать это как одну большую дробь: $$\frac{11 \times 15 \times 25}{12 \times 14 \times 42}$$.
3. Сокращаем: Теперь ищем числа, на которые можно сократить числитель и знаменатель.
• 15 и 12 делятся на 3: 15 → 5, 12 → 4.
• 25 и 42 не сокращаются.
• 15 и 14 не сокращаются.
• 11 и 14 не сокращаются.
• 11 и 42 не сокращаются.
• 25 и 12 не сокращаются.
• 25 и 14 не сокращаются.
• 11 и 12 не сокращаются.
• 14 и 42 делятся на 14: 14 → 1, 42 → 3.
• 15 и 42 делятся на 3: 15 → 5, 42 → 14.
• Давай попробуем еще раз, более систематично:
• $$(\frac{11}{12} \times \frac{15}{14}) \times \frac{25}{42}$$
• Первая пара: $$\frac{11 \times 15}{12 \times 14}$$. 15 и 12 сокращаем на 3: $$\frac{11 \times 5}{4 \times 14}$$. Получаем: $$\frac{55}{56}$$.
• Теперь умножаем на третью дробь: $$\frac{55}{56} \times \frac{25}{42}$$.
• Снова ищем общие делители: 55 и 42 не сокращаются. 55 и 14 не сокращаются. 25 и 56 не сокращаются. 25 и 14 не сокращаются.
• Перемножаем числители и знаменатели: $$\frac{55 \times 25}{56 \times 42} = \frac{1375}{2352}$$.
• Проверим, можно ли еще сократить. 1375 заканчивается на 5, делится на 5. 2352 не делится на 5. 1375 = 5 * 5 * 5 * 11. 2352 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7. Общих множителей нет.

Перепроверим изначальное сокращение:

$$\frac{11}{12} : \frac{14}{15} \times \frac{25}{42} = \frac{11}{12} \times \frac{15}{14} \times \frac{25}{42}$$

$$\frac{11}{\mathbf{12}_4} \times \frac{\mathbf{15}_5}{14} \times \frac{25}{\mathbf{42}_{14}} = \frac{11}{4} \times \frac{5}{14} \times \frac{25}{14}$$ (сократили 15 и 12 на 3, 42 и 15 на 3 - нельзя, 42 и 12 на 6 - можно! 12->2, 42->7)

$$\frac{11}{\mathbf{12}_2} \times \frac{15}{\mathbf{14}} \times \frac{25}{\mathbf{42}_7} = \frac{11}{2} \times \frac{15}{14} \times \frac{25}{7}$$ (сократили 12 и 42 на 6)

$$\frac{11}{2} \times \frac{\mathbf{15}_5}{\mathbf{14}_? } \times \frac{\mathbf{25}_?}{7}$$

Давай найдем общие делители для всего выражения:

$$\frac{11 \times 15 \times 25}{12 \times 14 \times 42}$$

15 и 12 делятся на 3: 15 → 5, 12 → 4.

14 и 42 делятся на 14: 14 → 1, 42 → 3.

Теперь выражение выглядит так: $$\frac{11 \times 5 \times 25}{4 \times 1 \times 3}$$

Перемножаем:

Числитель: $$11 \times 5 \times 25 = 55 \times 25 = 1375$$.

Знаменатель: $$4 \times 1 \times 3 = 12$$.

Получаем: $$\frac{1375}{12}$$.

4. Преобразуем в смешанную дробь: 1375 разделить на 12.
• 1375 : 12 = 114 (остаток 7).
• Потому что $$12 \times 114 = 1368$$, а $$1375 - 1368 = 7$$.

Ответ: $$114 \frac{7}{12}$$