16) Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями y = x²+1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой \( y = f(x) \), снизу осью \( Ox \) и вертикальными прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\( S = \int_a^b f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 + 1 \), \( a = 0 \), \( b = 2 \).

\( S = \int_0^2 (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 \)

\( S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \)

\( S = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \).

Ответ: \( \frac{14}{3} \)