17.24. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = -0,5x²: а) на полуинтервале (-3; 2]; б) на интервале (-2; 1); в) на отрезке [-1; 4]; г) на луче (-∞; 2].

Решение:

Функция \( y = -0.5x^2 \) является параболой с вершиной в начале координат \( (0,0) \), ветви которой направлены вниз. Это значит, что наибольшее значение функции будет достигаться в вершине, а наименьшее — на границах интервала, максимально удаленных от вершины.

а) на полуинтервале (-3; 2]:

Наибольшее значение: \( y(0) = -0.5 \times 0^2 = 0 \).

Наименьшее значение: Находим значения на краях интервала. \( y(-3) = -0.5 \times (-3)^2 = -0.5 \times 9 = -4.5 \). \( y(2) = -0.5 \times 2^2 = -0.5 \times 4 = -2 \). Так как функция убывает при \( x > 0 \) и возрастает при \( x < 0 \), наименьшее значение будет на левой границе, но сама левая граница не включена, поэтому ищем значение, стремящееся к \( y(-3) \). Однако, так как \( x=-3 \) не включено, а \( x=2 \) включено, то наименьшее значение будет равно \( y(-3) = -4.5 \), но поскольку -3 не входит в интервал, то наименьшего значения не существует, но оно приближается к -4.5. Если рассматривать включенные значения, то наибольшее значение равно 0, а наименьшее значение равно -2.

б) на интервале (-2; 1):

Наибольшее значение: \( y(0) = 0 \). Значение 0 входит в интервал.

Наименьшее значение: \( y(-2) = -0.5 \times (-2)^2 = -0.5 \times 4 = -2 \). \( y(1) = -0.5 \times 1^2 = -0.5 \). Так как \( x=-2 \) и \( x=1 \) не включены, наименьшее значение стремится к -2.

в) на отрезке [-1; 4]:

Наибольшее значение: \( y(0) = 0 \).

Наименьшее значение: \( y(-1) = -0.5 \times (-1)^2 = -0.5 \). \( y(4) = -0.5 \times 4^2 = -0.5 \times 16 = -8 \). Наименьшее значение равно -8.

г) на луче (-∞; 2]:

Наибольшее значение: \( y(0) = 0 \).

Наименьшее значение: Так как луч уходит в минус бесконечность, наименьшего значения не существует.

Ответ:

• а) Наибольшее: 0, Наименьшее: -4.5 (не достигается)
• б) Наибольшее: 0, Наименьшее: -2 (не достигается)
• в) Наибольшее: 0, Наименьшее: -8
• г) Наибольшее: 0, Наименьшее: не существует