17.25. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = 1/3 x²: а) на интервале (3; 6); б) на отрезке [-3; 0]; в) на открытом луче (-∞; 3); г) на полуинтервале [-1; 4).

Решение:

Функция \( y = \frac{1}{3}x^2 \) — это парабола с вершиной в \( (0,0) \), ветви которой направлены вверх. Наибольшее значение будет на границе, наиболее удаленной от нуля, а наименьшее — на границе, наиболее близкой к нулю (или в вершине, если она входит в интервал).

а) на интервале (3; 6):

Наименьшее значение: На краях интервала. \( y(3) = \frac{1}{3} \times 3^2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \). \( y(6) = \frac{1}{3} \times 6^2 = \frac{1}{3} \times 36 = 12 \). Так как интервал открытый, наименьшее значение стремится к 3, а наибольшее — к 12. Но сами значения не достигаются.

б) на отрезке [-3; 0]:

Наименьшее значение: \( y(0) = \frac{1}{3} \times 0^2 = 0 \). Это наименьшее значение, так как вершина входит в отрезок.

Наибольшее значение: \( y(-3) = \frac{1}{3} \times (-3)^2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \). Наибольшее значение равно 3.

в) на открытом луче (-∞; 3):

Наименьшее значение: \( y(0) = 0 \). Вершина входит в луч.

Наибольшее значение: \( y(3) = \frac{1}{3} \times 3^2 = 3 \). Так как луч открытый, наибольшее значение стремится к 3, но не достигается.

г) на полуинтервале [-1; 4):

Наименьшее значение: \( y(0) = 0 \) (так как 0 входит в полуинтервал).

Наибольшее значение: \( y(-1) = \frac{1}{3} \times (-1)^2 = \frac{1}{3} \). \( y(4) = \frac{1}{3} \times 4^2 = \frac{16}{3} \). Наибольшее значение стремится к \( \frac{16}{3} \), но не достигается.

Ответ:

• а) Наименьшее: стремится к 3, Наибольшее: стремится к 12.
• б) Наименьшее: 0, Наибольшее: 3.
• в) Наименьшее: 0, Наибольшее: стремится к 3.
• г) Наименьшее: 0, Наибольшее: стремится к \( \frac{16}{3} \).