1748. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 90√3. Найдите высоту СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^\circ \)), \( \angle A = 30^\circ \), \( AB = 90\sqrt{3} \).

Найдем катеты:

\( BC = AB \cdot \sin A = 90\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 90\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 45\sqrt{3} \)

\( AC = AB \cdot \cos A = 90\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 90\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 45 \cdot 3 = 135 \)

Площадь треугольника ABC:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 135 \cdot 45\sqrt{3} = \frac{6075\sqrt{3}}{2} \)

Также площадь можно вычислить как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \).

\( \frac{6075\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 90\sqrt{3} \cdot CH \)

\( \frac{6075\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} \cdot CH \)

\( CH = \frac{6075\sqrt{3}}{2 \cdot 45\sqrt{3}} \)

\( CH = \frac{6075}{90} \)

\( CH = 67.5 \)

Ответ: Высота СН равна 67.5.