18. Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправился яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно в возвратилась в А. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_y \) — скорость яхты в неподвижной воде, \( v_r = 2 \) км/ч — скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_п = v_r = 2 \) км/ч.

Плот прошел 24 км за время \( t_п \):

\( t_п = \frac{24 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 12 \) часов.

Яхта отправилась через 1 час после плота. Значит, время движения яхты \( t_я \) равно \( t_п - 1 \):

\( t_я = 12 - 1 = 11 \) часов.

Скорость яхты по течению: \( v_{я\text{по теч}} = v_y + v_r = v_y + 2 \).

Скорость яхты против течения: \( v_{я\text{против теч}} = v_y - v_r = v_y - 2 \).

Расстояние от А до В равно 120 км.

Время, за которое яхта дошла до В (по течению): \( t_{яв} = \frac{120}{v_y + 2} \).

Время, за которое яхта вернулась в А (против течения): \( t_{яа} = \frac{120}{v_y - 2} \).

Общее время движения яхты равно \( t_я = t_{яв} + t_{яа} \):

\( 11 = \frac{120}{v_y + 2} + \frac{120}{v_y - 2} \).

Приведем правую часть к общему знаменателю:

\( 11 = \frac{120(v_y - 2) + 120(v_y + 2)}{(v_y + 2)(v_y - 2)} \).

\( 11 = \frac{120v_y - 240 + 120v_y + 240}{v_y^2 - 4} \).

\( 11 = \frac{240v_y}{v_y^2 - 4} \).

\( 11(v_y^2 - 4) = 240v_y \).

\( 11v_y^2 - 44 = 240v_y \).

\( 11v_y^2 - 240v_y - 44 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\( D = (-240)^2 - 4 \times 11 \times (-44) = 57600 + 1936 = 59536 \).

\( \text{√D} = \text{√59536} = 244 \).

Найдем корни \( v_y \):

\( v_{y1} = \frac{240 + 244}{2 \times 11} = \frac{484}{22} = 22 \).

\( v_{y2} = \frac{240 - 244}{2 \times 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \).

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_y = 22 \) км/ч.

Ответ: 22.