18. Решите неравенство log₂(2x+6) > 3

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

\( 2x + 6 > 0 \)

\( 2x > -6 \)

\( x > -3 \).

Теперь решим само неравенство. Представим число 3 как логарифм по основанию 2:

\( 3 = \log_2 (2^3) = \log_2 8 \).

Неравенство примет вид:

\( \log_2 (2x+6) > \log_2 8 \).

Так как основание логарифма \( 2 \) больше 1, функция \( \log_2 x \) возрастающая. Значит, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

\( 2x + 6 > 8 \)

\( 2x > 8 - 6 \)

\( 2x > 2 \)

\( x > 1 \).

Теперь учтем ОДЗ: \( x > -3 \) и \( x > 1 \). Общим решением является \( x > 1 \).

Ответ: \( (1; +\infty) \).