20. Решите систему уравнений { 3x-y=2; x²-4x+8=y }

Решение:

У нас есть система из двух уравнений:

1. \( 3x - y = 2 \)
2. \( x^2 - 4x + 8 = y \)

Можно решить эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выражена \( y \), подставим это выражение в первое уравнение:

\( 3x - (x^2 - 4x + 8) = 2 \)

Раскроем скобки, меняя знаки:

\( 3x - x^2 + 4x - 8 = 2 \)

Приведем подобные слагаемые:

\( -x^2 + 7x - 8 = 2 \)

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение с положительным \( x^2 \):

\( 0 = x^2 - 7x + 8 + 2 \)

\( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-7)^2 - 4 × 1 × 10 \)

\( D = 49 - 40 \)

\( D = 9 \).

Найдем корни \( x \):

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 × 1} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 × 1} = \frac{4}{2} = 2 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать второе уравнение \( y = x^2 - 4x + 8 \):

Для \( x_1 = 5 \):

\( y_1 = 5^2 - 4 × 5 + 8 = 25 - 20 + 8 = 5 + 8 = 13 \).

Для \( x_2 = 2 \):

\( y_2 = 2^2 - 4 × 2 + 8 = 4 - 8 + 8 = 4 \).

Таким образом, у нас есть два решения.

Ответ: \( (5; 13) \) и \( (2; 4) \).