18. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание. (Верхний правый рисунок: высота 70, меньшее основание 80, угол 45°)

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда треугольник ABH — прямоугольный.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит, \( \angle DAB = 45° \).

Так как BH — высота, \( \angle BHA = 90° \).

В прямоугольном треугольнике ABH: \( \tan(\angle DAB) = \frac{BH}{AH} \).

\[ \tan(45°) = \frac{70}{AH} \]

Поскольку \( \tan(45°) = 1 \), то \( 1 = \frac{70}{AH} \), откуда \( AH = 70 \).

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания к вершинам меньшего основания, равны: \( AH = \frac{AD - BC}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ 70 = \frac{AD - 80}{2} \]

\[ 70 \cdot 2 = AD - 80 \]

\[ 140 = AD - 80 \]

\[ AD = 140 + 80 = 220 \]

Ответ: 220.