Найти периметр образованного четырехугольника

Решение:

Периметр четырехугольника равен сумме длин его сторон. В данном случае, стороны образованы хордами и отрезками, проходящими через центр окружности.

3) KO = x

Четырехугольник KLOD. Стороны: KL = 6, LO = 8 (радиус), OD = 8 (радиус), DK. Треугольник LOD — прямоугольный (угол LDO = 90°). По теореме Пифагора: \( DK^2 = LO^2 + OD^2 \). Но нам дан радиус 8. Так как LD — диаметр, то \( LD = 2 \cdot 8 = 16 \). В прямоугольном треугольнике KLD, \( KL^2 + KD^2 = LD^2 \). \( 6^2 + KD^2 = 16^2 \). \( 36 + KD^2 = 256 \). \( KD^2 = 220 \). \( KD = \sqrt{220} = 2\sqrt{55} \). Периметр = \( 6 + 8 + 8 + 2\sqrt{55} = 22 + 2\sqrt{55} \). Однако, x=KO=8. По всей видимости, надо найти периметр четырехугольника KLO D. OK=8, OL=8, OD=8, OK-диаметр=16. Треугольник KLD прямоугольный. LD=16. KL=6. KD = \(\sqrt{16^2 - 6^2} = \sqrt{256-36} = \sqrt{220} = 2\sqrt{55}\). Периметр = 6+8+8+2\(\sqrt{55}\) = 22+2\(\sqrt{55}\).

6) ML = x

Четырехугольник MLCD. ML = x. CD — диаметр. MC = 7 (радиус). MD = 7 (радиус). CD = 14. Треугольник MLD прямоугольный. \( ML^2 + MD^2 = LD^2 \). \( x^2 + 7^2 = 14^2 \). \( x^2 + 49 = 196 \). \( x^2 = 147 \). \( x = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \). Периметр = \( ML + LC + CD + DM \). \( ML = 7\sqrt{3} \). LC=?. CD=14. DM=7. Угол MCL = 60°. MC=7, ML=7\(\sqrt{3}\), CL=14. Треугольник CLD прямоугольный. CL = ?. LD=?. Угол CLD = 90°. CD=14. MC=7, ML=7\(\sqrt{3}\). Угол LMC = 90°. \(LC^2 + ML^2 = MC^2 \). \(LC^2 + (7\(\sqrt{3}\))^2 = 7^2 \). \(LC^2 + 147 = 49 \). Это невозможно, так как \(LC^2\) не может быть отрицательным. Изменения: ML=x. MC=7, MD=7, CD=14. Угол MLC = 90°. \( x^2 + LC^2 = 7^2 \). Угол LCD=60°. \( LC = CD \sin(60) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \). \( LD = CD \cos(60) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \). \( x^2 + (7\sqrt{3})^2 = 7^2 \). \( x^2 + 147 = 49 \). Опять невозможно. Предположим, что C — центр. Тогда MC=ML=MD=7. CD — диаметр = 14. Угол MLD = 90°. ML = MC * cos(60) = 7 * 1/2 = 3.5. LD = MC * sin(60) = 7 * sqrt(3)/2. ML=x. Периметр = 3.5 + 7 + 14 + 7*sqrt(3)/2 = 24.5 + 3.5*sqrt(3). Пересмотр: ML=x. MC=7, MD=7, CD=14. Угол L = 60°. ML=7. CD=14. CL=?. \( CD^2 = CL^2 + LD^2 \). \( 14^2 = CL^2 + LD^2 \). \( CL = CD \sin(60) = 14 \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \). \( LD = CD \cos(60) = 14 \frac{1}{2} = 7 \). ML = x. В прямоугольном треугольнике CLD, LD=7. В треугольнике CLM, CL=7\(\sqrt{3}\), CM=7. Угол L = 60°. ML = ?. По теореме косинусов: \( ML^2 = CL^2 + CM^2 - 2 \cdot CL \cdot CM \cdot \cos(60) \). \( x^2 = (7\sqrt{3})^2 + 7^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 7 \cdot 0.5 \). \( x^2 = 147 + 49 - 49\sqrt{3} \). \( x^2 = 196 - 49\sqrt{3} \). \( x = \sqrt{196 - 49\sqrt{3}} \). Периметр MLCD = ML + LC + CD + DM = \(\sqrt{196 - 49\sqrt{3}}\)+ 7\(\sqrt{3}\) + 14 + 7 = 21 + 7\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{196 - 49\sqrt{3}}\).

9) PQ = x

Четырехугольник PQRF. PQ = x. RF = 3\(\sqrt{3}\). PR = QR = 3\(\sqrt{3}\) (радиусы). PQ — хорда. Угол PQR = 60°. Треугольник PQR равнобедренный с углом 60°, значит, он равносторонний. PQ = QR = PR = 3\(\sqrt{3}\). Значит, x = 3\(\sqrt{3}\). RF = 3\(\sqrt{3}\). RQ = 3\(\sqrt{3}\). PF = ?. Угол PRF = 90°. \( PF^2 + RF^2 = PR^2 \). \( PF^2 + (3\(\sqrt{3}\))^2 = \(3\sqrt{3}\)^2 \). \( PF^2 + 27 = 27 \). \( PF^2 = 0 \). Это невозможно. Центр — F. Радиус = RF = 3\(\sqrt{3}\). PQ=x. Угол PQR=60°. Треугольник PQR равнобедренный, значит, PQ = QR = PR = 3\(\sqrt{3}\). x=3\(\sqrt{3}\). RF=3\(\sqrt{3}\), RQ=3\(\sqrt{3}\). PF=3\(\sqrt{3}\). Периметр PQRF = PQ+QR+RF+FP = 3\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{3}\) + 3\(\sqrt{3}\) = 12\(\sqrt{3}\).

Ответ: 3) 22 + 2√55; 6) 21 + 7√3 + √(196 - 49√3); 9) 12√3.