180. 6) Simplify the expression: \(\frac{8s^3 - 27t^3}{12s^2t + 18s^2t + 27st^2}\)

Решение:

Числитель — это разность кубов: \( (2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2) \).

Знаменатель: Вынесем общий множитель \( 3st \): \( 3st(4s + 6t + 9t^2/s) \). Этот вариант не подходит.

Проверим условие еще раз. Возможно, в знаменателе ошибка. Если предположить, что знаменатель имеет вид \( 12s^2 + 18st + 27t^2 \) (без \( t \) у \( s^2 \)), то это не сокращается.

Если предположить, что знаменатель — это \( 4s^2 + 6st + 9t^2 \) (ошибка в коэффициентах), то сокращение будет.

Пересмотрим знаменатель: \( 12s^2t + 18s^2t + 27st^2 \) — здесь есть опечатка, похоже, что \( 18s^2t \) должно быть \( 18st^2 \), или \( 12s^2t \) должно быть \( 12st^2 \), или \( 18s^2t \) должно быть \( 18st \).

Попробуем вынести \( 3 \) из числителя и знаменателя:

Числитель: \( 8s^3 - 27t^3 \)

Знаменатель: \( 3(4s^2t + 6st^2 + 9st^2) \) = \( 3(4s^2t + 15st^2) \). Не подходит.

Если знаменатель \( 12s^2 + 18st + 27t^2 \), то вынесем \( 3 \): \( 3(4s^2 + 6st + 9t^2) \). Сократится с множителем из числителя:

\( \frac{8s^3 - 27t^3}{3(4s^2 + 6st + 9t^2)} = \frac{(2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2)}{3(4s^2 + 6st + 9t^2)} = \frac{2s - 3t}{3} \)

Ответ: \( \frac{2s - 3t}{3} \) (при условии, что знаменатель \( 12s^2 + 18st + 27t^2 \)).