19. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяли точки M и K так, что угол KAM равен 40°, а угол AKM равен 70°. Найдите угол AMB.

В треугольнике AKM сумма углов равна 180°, поэтому \(\angle AMK=180°-40°-70°=70°\). Равные углы при M и K означают, что противоположные им стороны равны: \(AM=AK\).

Обозначим сторону квадрата за 1, а координаты точек зададим так: \(A=(0,0)\), \(B=(0,1)\), \(C=(1,1)\), \(D=(1,0)\), \(M=(m,1)\), \(K=(1,k)\). Из \(AM=AK\) следует \(m^2+1=1+k^2\), то есть \(m=k\).

Угол между лучами AM и AK равен 40°. При \(m=k\) эти лучи симметричны относительно направления под углом 45° к сторонам квадрата, поэтому \(2\arctan(1/m)=140°\), откуда \(\arctan(1/m)=70°\). Угол AMB — это угол между лучом MA и стороной MB, параллельной стороне квадрата; он равен \(90°-25°=65°\).

Ответ: 65°.