24. Вершина параллелограмма равноудалена от середин двух его сторон. Докажите, что диагонали этого параллелограмма перпендикулярны.

Пусть A — указанная вершина, а M и N — середины двух сторон, выходящих из A. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec u\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=\vec u/2\) и \(\overrightarrow{AN}=\vec v/2\).

По условию \(AM=AN\), значит, \(|\vec u|=|\vec v|\). Диагонали параллелограмма имеют направления \(\vec u+\vec v\) и \(\vec u-\vec v\). Их скалярное произведение равно \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=|\vec u|^2-|\vec v|^2=0\). Следовательно, диагонали перпендикулярны.