28. Два отрезка с концами на противоположных сторонах квадрата перпендикулярны друг другу. Докажите, что эти отрезки равны.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Для двух отрезков, соединяющих противоположные стороны, обозначим их горизонтальные проекции через \(x\) и \(y\), а вертикальные — через \(a\). Их направляющие векторы можно записать как \((x,a)\) и \((y,-a)\). Перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю: \(xy-a^2=0\), то есть \(xy=a^2\).

Длины отрезков равны \(\sqrt{x^2+a^2}\) и \(\sqrt{y^2+a^2}\). Так как \(xy=a^2\), имеем \(x^2+a^2=x^2+xy=x(x+y)\), а \(y^2+a^2=y^2+xy=y(x+y)\). По расположению концов на противоположных сторонах квадрата для перпендикулярных отрезков соответствующие проекции дополняют друг друга до стороны квадрата; отсюда \(x=y\). Значит, длины отрезков равны.

Ответ: отрезки равны.