19. ∠NOK = 80°, ∠MOF = 70°, OF — биссектриса ∠NOE, OK — биссектриса ∠MOE. Найти ∠MON.

Question

Вопрос:

19. ∠NOK = 80°, ∠MOF = 70°, OF — биссектриса ∠NOE, OK — биссектриса ∠MOE. Найти ∠MON.

Accepted Answer

Пусть ∠MOK = ∠KOE = x, поскольку OK — биссектриса ∠MOE. По рисунку лучи идут в порядке M, K, E, F, N, поэтому ∠MOF = ∠MOK + ∠KOE + ∠EOF = 2x + ∠EOF = 70°.

Так как OF — биссектриса ∠NOE, то ∠NOF = ∠FOE. Обозначим их величину через y. Тогда ∠NOK = ∠NOF + ∠FOE + ∠EOK = 2y + x = 80°.

Из 2x + y = 70° и 2y + x = 80°: вычитая первое равенство из удвоенного второго, получаем 3y = 90°, значит y = 30°. Тогда x = 20°.

Искомый угол ∠MON = ∠MOF + ∠FON = 70° + 30° = 100°.

Ответ: 100°.