196. Вычислите \(\operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{2}+\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha+\frac{7\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)\), если \(\cos\alpha=0{,}7\).

Question

Вопрос:

196. Вычислите \(\operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{2}+\alpha\right)\cdot\sin\left(\alpha+\frac{7\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)\), если \(\cos\alpha=0{,}7\).

Accepted Answer

По периодичности и формулам приведения: \(\operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha\), \(\sin\left(\alpha+\frac{7\pi}{2}\right)=-\cos\alpha\), \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)=\sin2\alpha\).

Первые два множителя дают \(\operatorname{tg}\alpha\cos\alpha=\sin\alpha\), поэтому выражение равно \(\sin\alpha\sin2\alpha=2\sin^2\alpha\cos\alpha\).

\[2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha=2(1-0{,}7^2)\cdot0{,}7=2\cdot0{,}51\cdot0{,}7=0{,}714.\]

Ответ: 0,714.